Công thức tính diện tích mặt cầu được sử dụng khá phổ biến trong các bài toán hình học ở bậc THPT. Hãy tìm hiểu công thức mặt cầu và tính thể tích hình cầu trong bài viết dưới đây.
Mục Lục
Định nghĩa khối cầu, mặt cầu là gì?
Hình cầu là một vật thể hình tròn ba chiều, với mỗi điểm nằm trên bề mặt của nó đều có khoảng cách đến tâm bằng nhau. Hình cầu được tạo bởi điểm O là tâm, độ dài R là bán kính của hình cầu. Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính cố định thì được một hình cầu.
Trong không gian 3 chiều, mặt cầu là quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi R. Điểm O gọi là tâm và khoảng cách R gọi là bán kính của mặt cầu. Bên cạnh đó, mặt cầu là tập hợp các điểm nằm cách đều điểm O (tâm hình cầu) 1 khoảng cố định cho trước không đổi = R (bán kính) tức R= OA. Kí hiệu: S(O;R)={M|OM=R}
Tổng hợp công thức mặt cầu và tính diện tích khối cầu
Xem thêm: Tìm hiểu tính chất và công thức hóa học của rượu
Các công thức mặt cầu, khối cầu
Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình khá dễ nhớ và cần học thuộc giống như đa số những công thức phổ biến trong môn toán hình học không gian.
Công thức tính diện tích mặt cầu
Theo định nghĩa, diện tích mặt cầu được tính bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn, hay bằng 4 lần hằng số Pi nhân với bình phương bán kính của hình cầu.
Công thức tính diện tích mặt cầu là S = 4 x π x r2 = π x d2
Trong đó:
- S là diện tích mặt cầu.
- π là 3.14.
- d là đường kính mặt cầu/ hình cầu.
- r là bán kính mặt cầu/ hình cầu.
Công thức tính thể tích hình cầu
Thể tích hình cầu hay thể tích khối cầu được tính bằng ba phần tư của Pi nhân với lập phương bán kính hình cầu. Theo đó, để tính thể tích khối cầu, chỉ cần tìm bán kính hình cầu (hoặc đường kính). Sau đó thay áp dụng vào công thức V = ⁴⁄₃πr³ để tính.
Trong đó:
- r là bán kính khối cầu.
- d là bán kính mặt cầu/ hình cầu.
- V là thể tích khối cầu (đơn vị m3).
- π là số pi, có giá trị xấp xỉ 3,14.
Lưu ý: Đơn vị của thể tích là đơn vị khối (m3, cm3…).
Hướng dẫn cách tính thể tích hình cầu
Bước 1: Viết công thức tính hình cầu ra giấy
Đầu tiên, bạn hãy viết ra giấy công thức tính thể tích hình cầu: V = ⁴⁄₃π.r³.
Bước 2: Đọc đề tìm bán kính
Bước tiếp theo, bạn hãy đọc đề nếu đề cho sẵn bán kính thì ghi ra giấy. Nếu đề cho đường kính thì bạn có thể áp dụng công thức V = 1⁄6π.d³. Hoặc bạn có thể lấy đường kính chia 2 để ra bán kính rồi áp dụng công thức như bước 1.
Ví dụ trong trường hợp khó hơn, đề chỉ cho diện tích mặt cầu (S), bạn có thể tìm bán kính bằng cách lấy diện tích mặt cầu chia cho 4π, sau đó tính căn bậc hai của kết quả này là ra. Có nghĩa là: r = √(S/4π) (“bán kính bằng căn bậc hai của thương số diện tích và 4π”).
Bước 3: Tiến hành tính luỹ thừa bậc 3 của bán kính
Sau đó, bạn chỉ cần tính lũy thừa bậc 3 của bán kính bằng cách đem bán kính nhân ba lần với chính nó hoặc nâng nó lên số mũ ba.
Ví dụ:
(2 cm)3 = 2 cm x 2 cm x 2 cm = 8
(1 cm)3 = 1 cm x 1 cm x 1 cm = 1
Bước 4: Tiếp tục nhân lũy thừa bậc 3 của bán kính với 4/3
Ở bước này, bạn bạn thay giá trị r³ vừa tính được vào công thức V = ⁴⁄₃πr³ để phương trình gọn hơn.
Ví dụ đường tròn có bán kính là 1cm:
4/3 x 1 = 4/3
V = ⁴⁄₃ x π x 1, hay V = ⁴⁄₃π.
Bước 5: Nhân biểu thức vừa tính được với π (số pi)
Cuối cùng, bạn chỉ cần đặt π vào phép tính và nhân giá trị của nó với 4/3. Trong đó, giá trị của π tương đương với 3.14159. Nếu không bạn cũng có thể để nguyên π trong đáp án theo dạng V = ⁴⁄₃π là xong.
Tổng hợp công thức mặt cầu và tính diện tích khối cầu
Xem thêm: Công thức cấp số cộng – Công thức cấp số nhân, Ví dụ minh họa
Một số bài tập và lời giải về công thức mặt cầu, thể tích khối cầu
Bài toán 1:
Cho một hình cầu có bán kính nối từ tâm O dài 5cm. Vậy diện tích của mặt cầu này là bao nhiêu?
Cách giải:
Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu ta có bán kính r = 5cm. Suy ra diện tích mặt cầu này sẽ bằng:
S = 4 x π x r2 = 4 x π x 52 = 314 cm2
Đáp án sau khi tính diện tích mặt cầu là 314 cm.
Bài toán 2
Tính diện tích của mặt cầu có bán kính nối từ tâm O dài:
- 1,3 dm
- 8 m
- 15 cm
- 2 cm
Cách giải:
- a) Diện tích của mặt cầu là:
Smặt cầu = 4π.R3 = 4 x 3,14 x 1,33 = 27,59432 (dm2)
- b) Diện tích của mặt cầu là:
Smặt cầu = 4π.R3 = 4 x 3,14 x 83 = 6430,72 (m2)
- c) Diện tích của mặt cầu là:
Smặt cầu = 4π.R3 = 4 x 3,14 x 153 = 42390 (cm2)
- d) Diện tích của mặt cầu là:
Smặt cầu = 4π.R3 = 4 x 3,14 x 23 = 100,48 (cm2)
Bài toán 3
Cho một đường tròn tâm O, có đường kính 2,5cm. Hãy tính diện tích mặt cầu.
Cách giải:
Trong trường hợp này, để tính diện tích hình cầu bạn cũng thay đường kính vào công thức Smặt cầu = π. d2, bạn được:
S = 3,14 x 2,5^2 = 19,625 cm2
Bài toán 4
Cho đường tròn tâm O, với bán kính là 9m. Hãy tính diện tích hình cầu?
Cách giải:
Với bài toán này, khi đã có bán kính của mặt cầu bạn có thể thay vào công thức Smặt cầu = 4 π.R^2, bạn được:
S = 4 x 3,14 x 9^2 = 1017.36 m2
Bài toán 5
Cho hình cầu có đường kính d = 6cm. Diện tích mặt cầu là:
- 9π (cm2)
- 36π (cm2)
- 36π (cm2)
- 12π (cm2)
Cách giải:
Vì đường kính d= 6cm >> Nên bán kính hình cầu R= d/2 = 3cm
Như vậy, diện tích mặt cầu: S = 4πR^2 = 4π3^2 = 36 π (cm^2)
Bài toán 6
Tính thể tích khối cầu có đường kính d = 4 cm.
Cách giải:
Bán kính r = d/2 = 2 cm.
Thể tích khối cầu là: V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(2)³ = 33,49 cm³.
Bài toán 7
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B.
AB = BC = a√3
Góc SAB=SCB= 90 độ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a√2
Hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
Cách giải:
- Gọi D là hình chiếu của S trên (ABC).
- H là chân đường cao kẻ từ D của tam giác vuông SDC.
∡SAB = ∡SCB = 90 độ
⇒∡DAB = ∡DCB = 90 độ
⇒ ABCD là hình vuông.
– Tiếp theo, xét tam giác vuông SDC (vuông tại D) có :
DC = AB = a√3
DH = d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = a√2
⇒ DS = a√6
⇒ SC = 3a
⇒ SB = 2a√3
– Gọi O là trung điểm của SB, ta có OA = OB = OC = OS = a√3.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là R = a√3
⇒ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là S = 4πR2 = 12πa2.
Trên đây là những công thức mặt cầu tính diện tích, thể tích hình cầu đơn giản, hy vọng sẽ giúp các bạn hoàn các bài tập một cách dễ dàng hơn.