Công thức cos trong tam giác & Tính ứng dụng trong đời sống

Thông tin về công thức cos trong tam giác được rất nhiều các em học sinh quan tâm đến và tìm hiểu ở trên các diễn đàn giáo dục. Chuyên trang Vgbc.org.vn đã tổng hợp kiến thức liên quan đến công thức cos, các em hãy cùng nhau tìm hiểu chi tiết ở bài viết dưới đây nhé!

Tìm hiểu công thức cos trong tam giác

Định lý cos (hay công thức cosin), được biết đến là định lý trong hình học phẳng liên hệ giữa từng cạnh và góc ở trong một tam giác bất kỳ. Theo đó, công thức cos trong tam giác cụ thể như sau:

c2 = a2 + b2 – 2ab × cos C

Tương tự:

• a2 = b2 + c2 – 2bc × cos A
• b2 = a2 + c2 – 2ac × cos B

Trong đó:

• a, b, c: độ dài 3 cạnh của tam giác;
• A, B, C: 3 góc đối diện từng cạnh tương ứng.

>>> Xem thêm một số những kiến thức liên quan:

• Các công thức khối nón và cách vận dụng giải bài tập
• Tổng hợp những kiến thức về công thức Logarit

Điểm đặt biệt: nếu góc C = 90° khi đó cos C = 0 công thức cos trong tam giác trở thành c2 = a2 + b2 chính là định lý Pytago. Điều này sẽ cho thấy định lý cos chính là sự tổng quát hóa của Pytago cho mọi tam giác.

Chứng minh ngắn gọn

Khi xét tam giác ABC, kẻ đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC ở điểm H. Khi đó:

• BH = a cos C;
• AH = a sin C.

Áp dụng định lý Pytago dành cho tam giác vuông AHB:

AB2 = BH2 + AH2

Thay vào:

c2 = (a cos C)2 + (a sin C)2 + b2 – 2abcos C

Khi rút gọn sẽ thu được công thức tổng quát của định lý cosin. Đây cũng là cách minh chứng cơ bản thường được các thầy/ cô giáo giảng dạy trong chương trình THPT.

Chia sẻ cách áp dụng định lý cosin

Tính cạnh khi biết 2 cạnh và góc xen giữa

Lấy ví dụ minh họa: Tam giác ABC có a = 5, b = 7, góc C = 60°.

Khi áp dụng công thức ta sẽ có: 

• c2 = a2 + b2 – 2ab × cos C = 52 + 72 – 2×5×7 × cos C = 25 + 49 – 70 × 0.5 = 39 
• C = √(39) ≈6.24

Đây chính là cách tính toán nhanh và chính xác khi không thể nào áp dụng Pytago.

Tính góc khi biết ba cạnh

Lấy ví dụ minh họa: Tam giác có a = 6 b = 8 c = 10

• cos C = (a2 + b2 – c2)/(2ab) = (36 + 64 – 100)/96 = 0 
• C = 90°

Kết quả này cho thấy được là tam giác vuông tại C. Cũng nhờ có định lý cosin, mọi người sẽ xác định được góc từ 3 cạnh.

Giải tam giác tổng quát

Định lý cosin thông thường kết hợp với định lý sin nhằm giải tam giác bất kỳ. Nếu như biết được 2 cạnh và góc xen giữa, mọi người sử dụng cosin nhằm tính cạnh thứ 3. Tiếp đến, sử dụng định lý sin nhằm tính toán những góc còn lại.

Bài tập thực tế

Nếu như mọi người muốn đo đạc khoảng cách giữa 2 tòa nhà mà không thể nào đo trực tiếp được. Họ đứng tại vị trí tạo thành tam giác với hai tòa nhà, biết khoảng cách từ mình đến 2 tòa và góc xen giữa. Áp dụng định lý cosin, mọi người dễ dàng tính toán được khoảng cách giữa hai tòa nhà.

Định lý cosin ứng dụng trong cuộc sống như thế nào?

Trong giáo dục & Toán học

Định lý cosin chính là những kiến thức cơ bản ở trong chương trình toán THPT. Nó không chỉ giúp cho học sinh giải toán hình học mà còn rèn luyện khả năng tư duy logics, khả năng biến đổi công thức cũng như kỹ năng suy luận.

Trong công nghệ GPS & Viễn thám

Những hệ thống định vị toàn cầu ứng dụng mở rộng của định lý cosin nhằm tính được khoảng cách giữa từng vệ tinh và thiết bị, từ đó sẽ xác định được vị trí của người dùng. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho việc công thức toán tưởng như khô khan nhưng lại gắn liền với công nghệ hiện đại.

Trong xây dựng & Kỹ thuật

Kỹ thuật xây dựng thông thường sẽ áp dụng định lý cosin nhằm tính toán độ dài, chiều dài cũng như góc nghiêng của công trình. Khi tiến hành đo đạc thực địa, nếu như không đo đạc trực tiếp một cạnh nào đó, họ có thể dựa vào từng cạnh khác cũng như góc để tính toán.

Trong hàng hải & Hàng không

Trong điều hướng, định lý cosin ở trên mặt cầu (spherical law of cosines) được sử dụng nhằm tính khoảng cách giữa hai điểm ở trên bề mặt Trái đất. Phi công, thủy thủ cũng có thể xác định được đường bay hoặc hải trình chính xác dựa trên công thức này.

Trong đời sống hàng ngày

Ngay cả trong công việc thông thường như lắp camera giám sát, đo đất, tính toán khoảng cách giữa hai vị trí ở trong nhà – định lý cosin cũng có thể được áp dụng. Cũng nhờ đó, toán học trở nên gần gũi và cũng rất hữu ích hơn bao giờ hết.

Kết luận

Thông tin bài viết ở trên nhằm giúp cho các em được hiểu rõ về định lý cosin và công thức cos trong tam giác không chỉ là công thức ở trong sách giáo khoa mà còn là công cụ toán học mạnh mẽ với rất nhiều tính ứng dụng trong thực tiễn. Từ lớp học, công trường xây dựng cho đến buồng lái máy bay, định lý cosin đều chứng minh giá trị của mình. Khi đã nắm vững định lý này không chỉ giúp em học tốt môn Toán mà còn mở ra khả năng áp dụng vào trong cuộc sống.