Khối nón là một hình học quen thuộc trong toán học, tuy nhiên hiện có nhiều bạn học sinh vẫn chưa nắm rõ các công thức khối nón để vận dụng vào giải bài tập liên quan. Bài viết dưới đây sẽ chia sẻ cho các bạn những thông tin bổ ích về hình học này.
Mục Lục
Khối nón là gì?
Hình nón hay khối nón là một hình khối không gian ba chiều có mặt đáy là hình tròn và một đỉnh duy nhất. Chúng ta cũng bắt gặp rất nhiều vật dụng hình nón như: chiếc nón lá, mũ sinh nhật, que kem ốc quế…
Hình nón có các thuộc tính chính gồm:
- Có một đỉnh hình tam giác.
- Một mặt tròn gọi là đáy hình nón.
- Đặc biệt nó không có bất kỳ cạnh nào.
- Chiều cao (h) là khoảng cách từ tâm của vòng tròn đến đỉnh của hình nón. Hình tạo bởi đường cao và bán kính trong hình nón là một tam giác vuông.
Hình nón có thể có 3 loại, tùy thuộc vào vị trí của đỉnh nằm thẳng hay nghiên.
- Hình nón tròn: Là hình nón có đỉnh nối vuông góc với mặt đáy tâm hình tròn.
- Hình nón xiên: Là hình nón có đỉnh không kéo vuông góc với tâm hình tròn mà có thể kéo từ 1 điểm bất kỳ mà không phải tâm của hình tròn mặt đáy.
- Hình nón cụt : Là hình nón có 2 hình tròn song song với nhau.
Các công thức khối nón và cách vận dụng giải bài tập
Xem thêm: Bảng đơn vị đo khối lượng và hướng dẫn cách quy đổi
Các công thức khối nón phổ biến
Công thức tính diện tích xung quanh khối nón
Diện tích xung quanh hình nón bằng tích của Pi (π) nhân với bán kính đáy hình nón nhân với đường sinh hình nón.
S xung quanh = π.r.l
Trong đó:
- Sxq: là diện tích xung quanh hình nón.
- π: là hằng số Pi = 3,14.
- l: đường sinh của hình nón.
- r: Bán kính vòng tròn đáy hình nón.
Công thức tính diện tích toàn phần hình nón
Diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích xung quanh hình nón công với diện tích mặt đáy hình nón.
S toàn phần = S xung quanh + S đáy = π.r.l + π.r2
Trong đó:
- Stp: là diện tích toàn phần hình nón.
- π: là hằng số Pi = 3,14.
- l: đường sinh.
- r: Bán kính vòng tròn.
Công thức tính thể tích khối nón
Thể tích khối nón được tính bằng 1/3 giá trị của Pi (pi= 3.14) nhân với bình phương bán kính đáy mặt nón và nhân với chiều cao của hình nón .
Để có thể tính thể tích của khối nón tròn xoay, bạn cần áp dụng công thức tiêu chuẩn là:
V = 1/3πr2h
Trong đó:
- V: là thể tích của một hình nón.
- h: là đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy hình nón.
- r: là bán kính vòng tròn mặt đáy.
- π: là hằng số Pi = 3,14.
Lưu ý: Đơn vị đo khi tính thể tích là m3 (mét khối)
Công thức tính thể tích khối nón cụt
Khi chúng ta cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón đó là một hình tròn; phần hình nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt đáy thì được gọi là một hình nón cụt.
Công thức khối nón cụt bằng hiệu thể tích của hình nón lớn và hình nón nhỏ.
Trong đó:
- V là thể tích hình nón cụt.
- r1, r2: hai bán kính của hai đáy hình nón cụt.
- π: số Pi (3.14).
- h : Chiều cao nối giữa hai đáy của hình nón cụt.
Các công thức khối nón và cách vận dụng giải bài tập
Xem thêm: Công thức cấp số cộng – Công thức cấp số nhân, Ví dụ minh họa
Các bước tính thể tích khối nón
Nếu có sẵn các giá trị như đường cao và bán kính thì chúng ta chỉ việc áp dụng công thức và tính thể tích khối nón một cách dễ dàng. Tuy nhiên, nếu không có sẵn giá trị đó thì bạn cần tìm hiểu các bước để tính thể tích khối nón dưới đây.
Bước 1: Tính bán kính
Bán kính là một giá trị cơ bản nhất để tính được thể tích của hình nón. Do đó, nếu đề bài không cho sẵn bán kính thì bạn bắt buộc phải tìm giá trị này. Chẳng hạn:
- Nếu đề bài cho chu vi của hình tròn đáy thì chúng ta sẽ tìm bán kính bằng cách lấy giá trị chu vi : 2π.
- Nếu đề bài cho đường kính là d thì sẽ tính bán kính theo công thức d:2.
- Nếu đề bài không cho các dữ liệu trên thì bạn cần trực tiếp lấy thước để đo khoảng cách lớn nhất của 3 điểm trên hình tròn đáy để lấy giá trị đường kính thực và chia cho 2, chúng ta sẽ có được bán kính chuẩn theo hình đã cho.
Bước 2: Tính diện tích đáy của khối nón
Để tính diện tích đáy của khối nón, chúng ta có thể áp dụng theo công thức S = π.r2 nếu đã biết bán kính r của hình nón. Bên cạnh đó, nếu chưa biết bán kính r, chúng ta cần quay lại bước 1 để tiến hành tính bán kính theo công thức đã cho.
Bước 3: Tính chiều cao của hình nón
Nếu đề bài cho sẵn chiều cao thì bạn chỉ cần áp dụng công thức tính khối nón đã cho trước đó. Tuy nhiên, nếu đề bài chưa cho sẵn chiều cao thì bạn hãy tính như sau:
- Trong trường hợp biết đường sinh là l và bán kính r thì chúng ta sẽ tính chiều cao theo định lý Py-ta-go của tam giác vuông.
- Nếu như không cho sẵn các giá trị thì chúng ta sẽ cần đo trực tiếp giá trị bằng thước.
Khi đã biết được tất cả các đại lượng cơ bản thì chỉ cần áp dụng công thức tính thể tích khối nón là V = 1/3.π.r2.h để tìm ra kết quả cuối cùng.
Một số bài toán sử dụng công thức khối nón
Ví dụ 1
Cho khối nón có đỉnh là O có bán kính hình tròn đáy là 3cm và độ dài đường sinh bằng 5cm. Hãy tính thể tích khối nón.
l=5cm R=3cm .
Bài giải:
- Gọi O là đỉnh khối nón
- H là tâm hình tròn
- A là điểm thuộc đường tròn đáy
Như trên đề bài thì ta có OA=5cm, HA=3cm
Trong tam giác vuông OHA, ta tính được OH và từ đó suy ra thể tích của khối nón như sau:
Vậy thể tích khối nón là : 37,68 cm3
Ví dụ 2
Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a và có đỉnh A và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Tính thể tích khối nón ?
Bài giải :
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, ta có: AO =h, OC =r như hình dưới đây.
Suy ra:
Vậy thể tích của khối nón là:
Ví dụ 3
Cho một hình nón cụt có đường kính 2 mặt đáy lần lượt là 18cm và 12cm, chiều cao nối giữa hai mặt đáy dài 7cm. Hãy tính thể tích của hình nón cụt đã cho.
Bài giải:
Đầu tiên ta đi tìm những yếu tố còn thiếu trong công thức tính thể tích khối nón cụt.
Ta có đường kính lớn và đường kính nhỏ lần lượt là 18 cm và 12 cm nên ta có:
Bước tiếp theo vô cùng đơn giản, ta chỉ cần ráp công thức là giải được bài toán
Áp dụng công thức tính thể tích của khối nón cụt, ta có:
Như vậy, khi áp dụng công thức thể tích hình nón cụt, chúng ta đã giải quyết xong bài toán này, chúng ta kết luận:
Vậy thể tích của hình nón cụt trên là: V = 1288/3 * pi = 1253,5 (cm3).
Hy vọng những thông tin trong bài viết đã giúp bạn đọc nắm được các công thức khối nón để vận dụng vào giải bài tập một cách chính xác.