Công thức cấp số cộng – Công thức cấp số nhân, Ví dụ minh họa

Công thức cấp số cộng là dạng toán cơ bản trong kiến thức THPT xuất hiện nhiều trong các kỳ thi tốt nghiệp và đại học. Tuy nhiên, có rất nhiều các bạn học sinh không nắm chắc được tính chất cấp số cộng, công thức tính tổng cấp số cộng, công thức cấp số cộng,..Chính vì vậy, chúng tôi sẽ tổng hợp chi tiết lý thuyết về cấp số cộng và bài tập chi tiết trong bài viết dưới đây.

Công thức cấp số cộng là gì?

Trong toán học, cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0.

Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n∈N∗,Un+1=Un+d

Xem thêm: Công thức đạo hàm

Giải thích:

• Kí hiệu d được gọi là công sai
• Un+1–Un = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn Un+1;Un là hai số liên tiếp của dãy số CSC
• Khi hiệu số Un+1–Un phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng.

Tính chất:

• uk=uk–1+uk+12,∀k≥2
•  Số hạng tổng quát: un=u1+(n–1)d
• Tổng n số hạng đầu:

Sn=u1+u2+…+un=(u1+un).n2=[2u1+(n–1)d].n2

Công thức cấp số nhân

Cấp số nhân
Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội.

Công thức tổng quát: Un+1=Un.q

Tìm hiểu thêm: Công thức diện tích hình thoi

Trong đó

• n ∈ N*
• công bội là q
• hai số liên tiếp trong công bội là Un,Un+1

Tính chất

• Un+1Un=Un+2Un+1
• Un+1=Un.Un+2−−−−−−−√ , Un > 0
• Ta thấy: {Un+1=Un.qun=u1.qn−1,(n≥2)⇒u2k=uk−1.uk+1,(n≥2)

+ Số hạng tổng quát: Un=U1.qn−1

+ Tổng n số hạng đầu tiên: Sn=U1+U2+...+Un=U11−qn1−q

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 thì Sn=U1+U2+...+Un=U11−q

Lưu ý: Công thức tổng cấp số nhân thường xuyên xuất hiện trong đề thi, tương đối dễ học nên em cần phải nhớ kĩ và chính xác.

Bài tập và ví dụ minh họa

Bài tập cấp số cộng

Câu 1. [ Đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3, u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Câu 2. [ Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội] Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ?

Dựa vào công thức cấp số cộng ta có:
u6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6

Câu 3: [ Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An] Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.

Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có:
{(a−3x)+(a−x)+(a+x)+(a+3x)=20(a−3x)2+(a−x)2+(a+x)2+(a+3x)2=120⇔{4a=204a2+20x2=120⇔{a=5x=±1
Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.

Câu 4. [ Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?

Ta có:
⎧⎩⎨Sn=n(u1+un)2d=un−u1n−1⇒{u1+u8=2S8:8u8−u1=7d⇒{u8+u1=18u8−u1=−14⇒u1=16.

Bài tập cấp số nhân

Câu 1. Cho CSN (un) vớiu1=−2; q = – 5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ?

Từ công thức cấp số nhân:
u2=u1.q=(−2).(−5)=10;u3=u2.q=10.(−5)=−50;u4=u3.q=−50.(−5)=250.
Số hạng tổng quát un=u1.qn−1=(−2).(−5)n−1.

Câu 2. Cho cấp số nhân (un) với u1=−1; q=−110. Số 110103 là số hạng thứ mấy của (un) ?

un=u1.qn−1⇒110103=−1.(−110)n−1⇒n−1=103⇒n=104

Câu 3: Xét xem dãy số sau có phải là CSN hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
un=−3n−15

Dựa vào công thức cấp số nhân ở trên ta thấy:
un+1un=3⇒(un) là CSN với công bội q = 3

Câu 4: Cho cấp số nhân: −15; a; −1125. Giá trị của a là:

Dựa vào công thức cấp số nhân: a2=(−15).(−1125)=1625⇔a=±125

Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nắm được cấp số cộng là gì? Công thức cấp số cộng, công thức cấp số nhân để vận dụng giải các bài tập nhé