Trong toán học có rất nhiều cách tính khác nhau về các khối hình. Nếu chúng ta không nắm rõ quy luật thì sẽ dễ bị nhầm. Dưới đây là cách tính khối chóp tứ giác đều cùng những ví dụ cụ thể.
Mục Lục
Khối chóp tứ giác đều là gì?
Hình chop tứ giác đều là hình chóp có đáy hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy (giao của 2 đường chéo hình vuông)
Tính chất của hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều có các tính chất sau:
- Đáy là hình vuông
- Các cạnh bên bằng nhau
- Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
- Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (tâm đáy là giao điểm 2 đường chéo
- Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau
- Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
Ví dụ: ta có hình chóp tứ giác đều SABCD thì:
- Tứ giác ABCD là hình vuông có tâm O.
- SO vuông góc mặt phẳng ABCD
- SA=SB=SC=SD
- (SA; (ABCD))=(SB;(ABCD))=(SC;(ABCD))=(SD;(ABCD))
Công thức tính thể tích của hình chóp tứ giác đều
Để tính được thể tích của hình chóp tứ giác đều thì ta cần phải biết được các công thức sau:
- Diện tích hình vuông: S = cạnh[SUP]2[/SUP]
- Đường chéo hình vuông: cạnh x căn bậc 2
- Thể tích hình chóp tức giác SABCD:
Thể tích hình chóp tứ giác đều
Xem ngay: 1 feet bằng bao nhiêu mm, cm, m, km? để biết được công thức chính xác
Hình chóp đều là gì?
Định nghĩa hình chóp đều
Trong hình học, một hình chóp là một khối đa diện được hình thành bằng cách kết nối một điểm của một đa giác và một điểm, được gọi là đỉnh. Mỗi cạnh cơ sở và đỉnh tạo thành một hình tam giác, được gọi là mặt bên. Một hình chóp với một n cơ sở -sided có n + 1 đỉnh, n + 1 mặt, và 2 n cạnh.
Một hình chóp thẳng có đỉnh của nó ngay phía trên tâm của cơ sở. Hình chóp không thẳng được gọi là hình chóp xiên. Một hình chóp thông thường có một cơ sở đa giác đều đặn và thường được ngụ ý là một hình chóp thẳng.
Khi không xác định, một hình chóp thường được coi là một hình chóp vuông thông thường, giống như các cấu trúc hình chóp vật lý. Một hình chóp có hình tam giác thường được gọi là tứ diện.
Trong số các hình chóp xiên, như tam giác cấp tính và tù túng, một hình chóp có thể được gọi là cấp tính nếu đỉnh của nó nằm phía trên bên trong của cơ sở và bị che khuất nếu đỉnh của nó nằm phía trên bên ngoài của cơ sở. Một hình chóp góc phải có đỉnh của nó trên một cạnh hoặc đỉnh của đáy. Trong một tứ diện, các vòng loại thay đổi dựa trên mặt nào được coi là cơ sở.
Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy của hình chóp.
Hình chóp đều (hình chóp đa giác đều) là hình chóp có các mặt bên là tam giác cân, và đáy là hình đa giác đều (tam giác đều, hình vuông,…)
Tính chất: Chân đường cao của hình chóp đa giác đều là tâm của đáy.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều; các cạnh bên bằng nhau. (Nếu định nghĩa như thế này thì Hình chóp đều cũng chính là Hình chóp đa giác đều. Vì Khi có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau, ta có thể dễ dàng chứng minh được rằng Hình chiếu của đỉnh trên đáy cũng chính là Tâm của đa giác đáy. Vì ta thấy các tam giác vuông (có 1 đỉnh là đỉnh hình chóp, 1 đỉnh là hình chiếu của đỉnh trên đáy, và đỉnh còn lại là các đỉnh của đa giác đáy) là bằng nhau (do có 1 cạnh góc vuông chung là đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy, các cạnh huyền bằng nhau (là các cạnh bên của đa giác). Từ đó thấy Hình chiếu của đỉnh hình chóp trên đáy chính là giao điểm (duy nhất) của các đường trung trực của các cạnh đa giác đáy, hay chính là Tâm của đáy).
Hình chóp có mặt đáy là tứ giác.
Hình chóp có mặt đáy là hình thang.
Hình chóp có mặt đáy là hình bình hành.
Hình chóp có mặt đáy là hình vuông.
Những ví dụ cụ thể
Bài tập 1: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng aa, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
|
Lời giải chi tiết:
Giả sử khối chóp S.ABCD đều có đáy là hình vuông cạnh aatâm O và cạnh bên SD=2a2a. Khi đó SO ⊥⊥ (ABCD).
Ta có: 2OD2=a2⇒OD=a22;SO=√(2a)2−a22=a√722OD2=a2⇒OD=a22;SO=(2a)2−a22=a72
SABCD=a2SABCD=a2; VS.ABCD=13SO.SABCD=13a2.√72a=a3√146VS.ABCD=13SO.SABCD=13a2.72a=a3146. Chọn A
| Bài tập 2: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng aa, cạnh bên bằng 2a2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC
A. V= √13a31213a312. B. V= √11a31211a312. C. V=√11a3611a36. D. V=√11a3411a34. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi H là trọng tâm của ΔΔABC và M là trung điểm của BC.
Ta có AM=a√32a32⇒⇒AH=2323AM=a√33a33; SABC=a2√34SABC=a234. Mặt khác: SH=√SA2−AH2=√4a2−(a√33)2=a√333SH=SA2−AH2=4a2−(a33)2=a333. Do đó VS.ABC=13SH.SABC=a3√1112VS.ABC=13SH.SABC=a31112. Chọn B. |
||
| Bài tập 3: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh aa, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60∘60∘. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A.a3√34a334 . B. a3√38a338 . C. a3√312a3312. D. a3√324a3324. |
||
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH⊥(ABC)SH⊥(ABC).
Gọi M là trung điểm của BC ta có AM=a√32AM=a32.
Khi đó AH=23AM⇒23.a√32=a√33AH=23AM⇒23.a32=a33.
Lại có ˆSAH=60o⇒SH=HAtan60o=aSAH^=60o⇒SH=HAtan60o=a
Suy ra: VS.ABC=13SH.SABC=13a.a2√34=a3√312VS.ABC=13SH.SABC=13a.a234=a3312 Chọn C.
| Bài tập 4: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh aa, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60∘60∘. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A.a3√34a334 . B. a3√38a338 . C. a3√312a3312. D. a3√324a3324. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH⊥(ABC)SH⊥(ABC).
Gọi M là trung điểm của BC ta có AM=a√32AM=a32. Khi đó HM=13AM⇒13.a√32=a√36HM=13AM⇒13.a32=a36. Lại có {BC⊥SABC⊥AM⇒BC⊥(SAM){BC⊥SABC⊥AM⇒BC⊥(SAM) Do đó ˆSMH=ˆ((SBC);(ABC))=60∘⇒SH=HMtan60∘=a2SMH^=((SBC);(ABC))^=60∘⇒SH=HMtan60∘=a2 Do đó VS.ABC=13SH.SABC=13.a2.a2√34=a3√324VS.ABC=13SH.SABC=13.a2.a234=a3324. Chọn D. |
Trên đây là cách tính khối chóp tứ giác đều cùng những ví dụ cụ thể. Hy vọng bài viết của chúng tôi đã cung cấp cho bạn nhiều thông tin.