Tổng hợp 7 hằng đẳng thức đáng nhớ công thức và ví dụ minh họa

Trong chương trình đại số, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ công thức Toán học là kiến thức nền tảng giúp học sinh khai triển, rút gọn và phân tích biểu thức một cách nhanh chóng và chính xác. Chính vì vậy, các bạn cần nắm vững các công thức này để giải bài tập hiệu quả cũng như học các nội dung Toán học nâng cao.

Hằng đẳng thức đáng nhớ là gì?

Tìm hiểu về: Công thức nghiệm PT bậc 2 & Ứng dụng trên thực tế

Hằng đẳng thức đáng nhớ là những công thức đại số tổng quát luôn đúng với mọi giá trị của biến (trong phạm vi xác định), không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của các biến. Các công thức này được dùng để khai triển, rút gọn biểu thức, phân tích đa thức và giải phương trình một cách nhanh chóng, chính xác. Tuy số lượng không nhiều, nhưng các hằng đẳng thức có vai trò rất quan trọng và cần được ghi nhớ.

Nội dung 7 hằng đẳng thức đáng nhớ công thức và ví dụ minh họa

Dưới đây là nội dung 7 hằng đẳng thức đáng nhớ công thức Toán học và ví dụ minh họa để các bạn có thể nắm rõ:

Bình phương của một tổng

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Bình phương một tổng bằng bình phương số thứ nhất, cộng với hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, cộng tiếp với bình phương số thứ hai.

Bài toán ví dụ:

Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển hai biểu thức sau:

• (3x + 5)²
• (x + 4y)²

Bài giải:

• (3x + 5)² = (3x)² + 2·3x·5 + 5² = 9x² + 30x + 25
• (x + 4y)² = x² + 2·x·4y + (4y)² = x² + 8xy + 16y²

Bình phương của một hiệu

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Bình phương một hiệu bằng bình phương số thứ nhất, trừ cho hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương số thứ hai.

Bài toán ví dụ:

Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển hai biểu thức sau:

• (5x − 2)²
• (2x − 3y)²

Bài giải:

• (5x − 2)² = (5x)² − 2·5x·2 + 2² = 25x² − 20x + 4
• (2x − 3y)² = 4x² − 12xy + 9y²

Hiệu hai bình phương

a² – b² = (a + b)(a – b)

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Hiệu của hai bình phương bằng tổng của hai số nhân với hiệu của hai số.

Bài toán ví dụ:

Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử:

• 9x² − 1
• 4a² − 25b²

Bài giải:

• 9x² − 1 = (3x)² − 1² = (3x − 1)(3x + 1)
• 4a² − 25b² = (2a − 5b)(2a + 5b)

Lập phương của một tổng

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Lập phương của một tổng bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần số thứ nhất cộng với bình phương số thứ hai, cộng với lập phương số thứ hai.

Bài toán ví dụ:

Khai triển biểu thức:

• (2x + y)³

Bài giải:
(2x + y)³
= (2x)³ + 3·(2x)²·y + 3·2x·y² + y³
= 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³

Đọc thêm về: Công thức nội suy tuyến tính & Ứng dụng trong kỹ thuật đo lường

Lập phương của một hiệu

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất, trừ cho ba lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, trừ cho lập phương số thứ ba.

Bài toán ví dụ:

Khai triển biểu thức:

• (3x − y)³

Bài giải:
(3x − y)³
= (3x)³ − 3·(3x)²·y + 3·3x·y² − y³
= 27x³ − 27x²y + 9xy² − y³

Tổng hai lập phương

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Tổng của hai số lập phương bằng tổng của hai số, nhân với tổ hợp bình phương số thứ nhất trừ cho tích của hai số cộng với bình phương số thứ hai.

Bài toán ví dụ:

Phân tích biểu thức sau thành nhân tử:

• 8x³ + 27

Bài giải:
8x³ + 27 = (2x)³ + 3³
= (2x + 3)(4x² − 6x + 9)

Hiệu hai lập phương

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Với hai biến số a, b bất kỳ, ta sẽ có: Hiệu của hai số lập phương bằng hiệu của hai số, nhân với tổ hợp gồm bình phương số thứ nhất cộng với tích hai số cộng với bình phương số thứ hai.

Bài toán ví dụ:

Phân tích biểu thức sau thành nhân tử:

• 27x³ − 1

Bài giải:
27x³ − 1 = (3x)³ − 1³
= (3x − 1)(9x² + 3x + 1)

Các hằng đẳng thức mở rộng

Dưới đây là các hằng đẳng thức mở rộng, thường được sử dụng để khai triển, rút gọn và phân tích các biểu thức đại số có từ ba biến trở lên hoặc bậc cao hơn, giúp việc giải toán trở nên nhanh chóng và hiệu quả hơn:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

(a − b + c)² = a² + b² + c² − 2ab − 2bc + 2ac

(a − b − c)² = a² + b² + c² − 2ab + 2bc − 2ac

(a + b − c)² = a² + b² + c² + 2(ab − ac − bc)

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(a + c)(b + c)

a⁴ + b⁴ = (a + b)(a³ − a²b + ab² − b³)

a⁴ − b⁴ = (a − b)(a³ + a²b + ab² + b³)

Trên đây là tổng hợp 7 hằng đẳng thức đáng nhớ công thức cùng các bài tập minh họa để các bạn học sinh có thể dễ dàng ghi nhớ. Đây là công cụ không thể thiếu trong việc học tập môn Toán. Do đó, các bạn cần ghi nhớ và vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức này để làm bài nhanh hơn, hạn chế sai sót và nâng cao tư duy đại số.