Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thường xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia. Dạng toán này khá đơn giản và dễ lấy điểm cho học sinh, bởi vậy mà các bạn phải nắm vững công thức phương trình tiếp tuyến để giải bài tập. Chúng ta cùng tìm hiểu thông tin cụ thể trong bài viết này.
Công thức phương trình tiếp tuyến là dạng bài tập dễ dàng
Mục Lục
1. Lý thuyết về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ý nghĩa hình học đạo hàm của phương trình tiếp tuyến:
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M(x0,y0).
Theo đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0,y0) là: y = y'(x0)(x-x0)+y0.
Nguyên tắc để lập phương trình tiếp tuyến là tìm được hoành độ của tiếp điểm x0.
2. Một số dạng bài tập về phương trình tiếp tuyến
Những dạng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số mà các bạn học sinh phải nắm vững làm bài tập cơ bản với nâng cao.
2.1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
Phương pháp giải:
- Cho đồ thị (C):y=f(x), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0,y0).
- Bước 1: Tính đạo hàm y’=f(x)’ và hệ số góc của tiếp tuyến k=y'(x0).
- Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x0,y0) có dạng: y=y'(x0)(x-x0)+y0.
Lưu ý: Một số bài toán có thể đưa về những dạng dưới đây:
- Đề bài cho biết thông tin hoành độ tiếp điểm x0 thì tìm yo bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: y0=f(x0).
- Đề bài cho thông tin tung độ tiếp điểm y0 thì tìm x, bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: f(x0)=y0.
- Đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C):y=f(x) và đường đường thẳng (d): y=ax+b. Khi đó, hoành độ tiếp điểm sẽ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị (d) và (C).
- Trục hoành Ox: y=0; trục tung Oy: x=0.
>>> Tham khảo thêm: Công thức delta, delta phẩy, phương trình bậc 2 và bài tập vận dụng
2.2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k
Phương pháp giải:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp điểm đi qua điểm A(xA;yB).
- Cách 1: Sử dụng đồ kiện tiếp xúc của 2 đồ thị:
Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yB) với hệ số góc k có dạng: y=k(x-xA)+yA (*).
Bước 2: Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: f(x)=k(x-xA)+yA và f'(x)=k.
Bước 3: Giải hệ phương trình trên, sau khi tìm được x và k, ta thế vào phương trình (*) và được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
- Cách 2: Sử dụng phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm:
Bước 1: Gọi M(x0;f(x0)) là tiếp điểm, tính hệ số góc k theo x0.
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d):y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) (**). Vì điểm A(xA;yA)(d) nên giải phương trình yA=f'(x0)(x-x0)+f(x0) ta tìm được x0.
Bước 3: Thay x0 vừa tìm được vào phương trình (**) ta được phương trình tiếp tuyến cần viết.
2.3. Viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Phương pháp giải:
- Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (d) với đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.
Bước 1: Gọi điểm M(x0;y0) là tiếp điểm và tính đạo hàm y’=f'(x).
Bước 2: Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k, sau đó ta giải phương trình k=f'(x0) ta tìm được x0 rồi suy ra y0.
Bước 3: Với mỗi tiếp điểm khác nhau ta sẽ viết được phương trình tiếp tuyến tương ứng (d):y=y0‘(x-x0)+y0.
- Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến ở các dạng như sau:
Tiếp tuyến song song với một đường thẳng, ví dụ d//:y=ax+bk=a. Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì ta cần kiểm tra lại xem tiếp tuyến có trùng với đường thẳng hay không, nếu trùng thì ta loại bỏ kết quả đó.
Tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng, ví dụ d:y=ax+bk.a=-1k=-1a.
Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc thì k=tan.
Tổng quát: tiếp tuyến tạo với đường thẳng :y=ax+b một góc , khi đó ta có: k-a1+ka=tan.
2.4. Bài toán chứa tham số
Phương pháp giải:
Sử dụng một trong các phương pháp giải của các dạng toán đã được đề cập ở trên và biện luận để tìm giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
3. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Cho hàm số y=-2x³+6x²-5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M và có hoành độ bằng 3.
Vận dụng lý thuyết công thức phương trình tiếp tuyến vào giải bài tập
Hướng dẫn giải
Ta có y’=-6×2+12x; y'(3=-18; y(3)=-5.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là y=-18(x-3)-5=-18x+49.
Bài tập 2: Cho hàm số (C):y=1/4×4-2x². Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0>0 biết rằng y”(x0)=-1.
Hướng dẫn giải
Ta có y’=x3-4x; y”=3×2-4
Vì y”(x0 )=-13×0²-4=-1×02=1×0=1 (Vì x0>0).
Với x0=1y0=-7/4 ; y0‘=-3. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y=-3(x-1)-7/4=-3x+5/4.
>>> Xem thêm: Dầu ăn công thức hóa học là gì? Lợi ích dầu ăn với sức khỏe
Bài tập 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y(x-5)/(-x+1) tại điểm A của (C) và trục hoành. Viết phương trình của d.
Hướng dẫn giải
Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình (x-5)/(-x+1)=0x= 5.
Khi đó tọa độ điểm A=(5;0).
Điều kiện xác định: x1. Ta có y’=(-4)/(-x+1)²; y'(5)=-1/4.
Phương trình đường thẳng d chính là phương trình tiếp tuyến tại điểm A(5;0) có dạng y=-1/4(x-5)=-1/4 x+5/4.
Bài tập 4: Cho đồ thị hàm số y=3x-4×2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), ta biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1;3).
Hướng dẫn giải
Ta có y’=3-8x.
Ta gọi điểm M(x0;y0) là tọa độ của tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng: y=(3-8×0)(x-x0)+3×0-4×0².
Vì tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(1;3) nên ta được:
3=(3-8×0)(1-x0)+3×0-4×0²4×02-8×0=0x0=0 hoặc x0=2.
Với x0=0 thì y(x0)=0 và y'(x0)=3. Khi đo phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=3(x-0)+0=3x.
Với x0=2 thì y(x0)=-10 và y'(x0)=-13. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=-13(x-2)-10=-13x+16.
Bài tập 5: Cho hàm số y=x3-3×2+6x+1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi điểm M(x0;y0) là tọa độ của tiếp điểm.
Ta có y’=3×2-6x+6.
Khi đó y'(x0)=3×2-6x+6=3(x0²-2×0+2)=3[(x0-1)2+1]3.
Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y’ (x0)=3, dấu bằng xảy ra khi x0=1.
Với x0=1 thì y(x0)=5 và y'(x0)=3. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=3(x-1)+5=3x+2.
Bài tập 6: Cho hàm số (C):y=x³-3x+2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), ta biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.
Hướng dẫn giải
Gọi điểm M(x0;y0) là tọa độ của tiếp điểm.
Ta có y’=3×2-3.
Khi đó y'(x0)=3×0-3=9 thì y(x0)=4 và y'(x0)=9.
Với x0=2 thì y(x0)=4 và y'(x0)=9. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=9(x-2)+4=9x-14.
Với x0=-2 thì y(x0)=0 và y'(x0)=9. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=9(x+2)+0=9x+18.
Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=-x-2×2+3 vuông góc với đường thẳng :x-8y+2017=0.
Hướng dẫn giải:
Ta có y’=-4×3-4x.
Gọi tọa độ của tiếp điểm là điểm M(x0;y0).
Phương trình: x-8y+2017=0, đổi y=1/8x+2017/8.
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình d:y=1/8x+2017/8 nên ta có y'(x0)=-8 hay -4×03-4×0=-8×0=1.
Với x0=1y(x0)=0 và y'(x0)=-8. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -8(x – 1) +0 = -8x + 8.
Với công thức phương trình tiếp tuyến trên đây hi vọng sẽ giúp các bạn áp dụng trong việc giải bài tập hữu ích. Đừng quên theo dõi những bài viết tiếp theo để cập nhật thông tin hữu ích khác.
Nguồn tổng hợp: cmath.edu.vn