Đường trung tuyến là một trong những kiến thức cơ bản yêu cầu học sinh phải nắm vững để có thể áp dụng vào bài tập. Dưới đây là công thức đường trung tuyến và một số bài tập vận dụng.

Đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó. Bên cạnh đó, đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến.

Đối với tam giác đều và tam giác cân, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau.

Xem thêm: Bảng đơn vị đo khối lượng và hướng dẫn cách quy đổi
Công thức đường trung tuyến và một số bài tập vận dụng

Xem thêm: Các công thức khối nón và cách vận dụng giải bài tập

Tính chất về đường trung tuyến

– 3 đường trung tuyến của một tam giác cùng đồng quy tại một điểm được gọi là trọng tâm của tam giác. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

– Mỗi trung tuyến chia diện tích tam giác thành hai phần bằng nhau. Theo đó, 3 trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.

– Trong tam giác cân: Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy. Và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.

– Tam giác vuông là một tam giác đặc biệt với một góc lớn 90°, 2 cạnh tạo nên góc vuông luôn vuông góc với nhau. Do đó đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ mang những tính chất của đường trung tuyến tam giác. Ngoài ra, trong một tam giác bất kì, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác sẽ có độ dài bằng 1/2 cạnh huyền.

– Trong tam giác đều: 3 đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau. Trong tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kì và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.

Định lí của đường trung tuyến trong tam giác

  • Định lí 1: 3 đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm gặp nhau của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác đó.
  • Định lí 2: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
  • Định lí 3: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau. Và đường trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

Công thức đường trung tuyến

Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác và bằng định lý Apollonnius:

Công thức đường trung tuyến

Công thức đường trung tuyến và một số bài tập vận dụng

Xem thêm: Bảng đơn vị đo khối lượng và hướng dẫn cách quy đổi

Trong đó:

  • a, b, c là các cạnh của tam giác.
  • ma, mb, mc là các đường trung tuyến của tam giác.

Một số bài tập vận dụng công thức đường trung tuyến

Câu 1: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là:

  1. 4,5cm
  2. 3cm
  3. 6cm
  4. 4cm

Câu 2: Cho tam giác ABC cân biết AB = AC = 10cm, BC = 12cm. M là trung điểm BC. Độ dài trung tuyến AM là:

  1. 22cm
  2. 2cm
  3. 6cm
  4. 8cm

Câu 3: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN. Nếu BM = CN thì tam giác ABC là tam giác gì?

  1. tam giác cân
  2. tam giác vuông
  3. tam giác đều
  4. tam giác vuông cân

Câu 4: Cho tam giác ABC có BM và Cn là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME = MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF = NG. Chứng minh:

a, EF = BC .

b, đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.

Câu 5: Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ gặp nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giưac O và B, AB = 2 OA. Trên yy’ lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng Lm. Nối B với L, B và M và gọi P là trung điể của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.

Câu 6: Cho một tam giác ABC cân có AB = AC = 17 cm, BC = 16 cm. Hãy kẻ đường trung tuyến AM.

a, Tính độ dài AM.

b, Chứng minh AM vuông góc với BC.

Câu 7: Cho tam giác ABC, trên cạnh đối của cạnh AB, hãy lấy điểm D sao cho đoạn thẳng AD = AB, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho đoạn thẳng AE = 1/3 AC, đoạn thẳng BE cắt CD tại điểm M . Hãy chứng minh:

a, AM = 1/2 BC.

b, M là trung điểm của CD.

Câu 8: Cho điểm G là trọng tâm của tam giác đều ABC, hãy chứng minh rằng các cạnh GA, GB, GC bằng nhau.

Câu 9: Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến DI

a, Chứng minh tam giác DEI = tam giác DFI

b, Các góc DIE và góc DIF là góc gì?

c, DE = DF = 13 cm, EF = 10 cm. Tính DI.

Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ), đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a, Chứng minh tam giác AMB = tam giác DMC và AB // CD.

b, Gọi F là trung điểm CD, tia FM cắt AB tại K. Chứng minh M là trung điểm KF.

c, Gọi E là trung điểm của AC, BE cắt AM tại điểm G, I là trung điểm của AF. Chứng minh ba điểm K, G và I thẳng hàng.

Câu 11: Giả sử hai đường trung tuyến BD và CE của tam giác ABC có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại G.

a, Tam giác BGC là tam giác gì?

b, So sánh tam giác BCD và tam giác CBE.

c, Tam giác ABC là tam giác gì?

Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a, Tính số góc ABD.

b, Chứng minh góc ABC = góc BAD.

c, So sánh độ dài AM và BC.

Câu 13: Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.

a, Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh BE và GE.

b, CI cắt GE tạo O, điểm O là gì của tam giác ABC. Chứng minh BE = 9 OE.

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a, Tính số đo của ABD.

b, Chứng minh góc ABC = góc BAD.

c, So sánh độ dài AM = BC.

Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, BC = 10 cm lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4 cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.

a, Tính AD.

b, Điểm M là gì của tam giác BCD.

c, Gọi E là trung điểm của BC, chứng minh D, M, E thẳng hàng.

Câu 16: Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.

a, Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh BE và GE.

b, CI cắt GE tại O, điểm O là gì của tam giác ABC. Chứng minh BE = 9 OE.

Câu 17: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ), đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a, Chứng minh tam giác AMB = tam giác DMC và AB // CD.

b, Gọi F là trung điểm CD, tia FM cắt AB tại K. Chứng minh M là trung điểm KF.

c, Gọi E là trung điểm của AC, BE cắt AM tại G, I là trung điểm của AF. Chứng minh K, G  và I thẳng hàng.

Câu 18: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, BC = 10 cm, lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4 cm, lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.

a, Tính AD.

b, Điểm M là gì của tam giác BCD.

c, Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh D, M, E thẳng hàng.

Hy vọng qua những thông tin trong bài viết bạn đọc đã nắm được công thức đường trung tuyến và các định lý liên quan.

Rate this post
Facebook Comments Box

Bài liên quan