Trong toán học có rất nhiều công thức giúp chúng ta giải toán nhanh hơn. Một trong số đó có công thức cấp số nhân. Cùng tìm hiểu công thức cấp số nhân và các dạng bài tập đầy đủ qua bài viết dưới đây.
Mục Lục
Cấp số nhân là gì?
Một dãy số hữu hạn (hoặc vô hạn) mà tỷ số giữa hai số liên tiếp là một hằng số d thì dãy số đó là cấp số nhân (CSN).
Cơ sở lý thuyết
Dãy số (un) (hữu hạn hoặc vô hạn) là cấp số nhân ⇔un+1=q.un,∀n≥1,n∈N∗
- Công bội của cấp số nhân ký hiệu là q
- un và
Tính chất
- u2k=uk–1.uk+1,∀k≥2
- Số hạng tổng quát: un=u1.qn–1,n≥2.
- Tổng n số hạng đầu: Sn=u1+u2+…+un=u1(1–qn)1–q
- Khi q = 0 thì dãy là u1;0;0;…;0;… và Sn=u1
- Khi q = 1 thì dãy có đạng u1;u1;u1;…;u1;…và Sn=n.u1
- Khi u1=0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0;0;0;…;0;…và Sn=0
Phân dạng bài tập công thức cấp số nhân
công thức cấp số nhân
Xem ngay: thể tích khối chóp để biết cách tính đúng
Dạng 1: Nhận biết CSN
Bước 1: Tính q=un+1un,∀n≥1
Bước 2: Kết luận:
- Nếu q là số không đổi thì dãy (un) là CSN.
- Nếu q thay đổi theo n thì dãy (un) không là CSN.
Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân
Sử dụng các tính chất của CSN, biến đổi để tính công bội của CSN.
Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1.qn–1,n≥2
Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy
Để tính tổng của CSN với n số hạng đầu tiên trong dãy số, ta sử dụng công thức:
Sn=u1+u2+…+un=u1(1–qn)1–q
Dạng 5: Tìm CSN
- Tìm các yếu tố xác định một CSN như: số hạng đầu u1, công bội q.
- Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1.qn–1,n≥2.
Bài tập cấp số nhân
Bài 1. [Đề thi thử sở Quảng Bình] Cho CSN (un) với u1=–12; u7=–32. Tìm q?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức số hạng tổng quát CSN ta có
un=u1qn–1⇒u7=u1.q6⇒q6=64⇒[q=2q=–2
Câu 2. [Đề thi thử Chuyên KHTN ] Cho CSN (un) vớiu1=–2; q = – 5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ?
Hướng dẫn giải
u2=u1.q=(–2).(–5)=10;u3=u2.q=10.(–5)=–50;u4=u3.q=–50.(–5)=250
Số hạng tổng quát un=u1.qn–1=(–2).(–5)n–1.
Bài 3. [Đề thi thử sở Thái Bình ] Cho CSN (un) với u1=–1; q=–110. Số 110103 là số hạng thứ mấy của (un) ?
Hướng dẫn giải
un=u1.qn–1⇒110103=–1.(–110)n–1⇒n–1=103⇒n=104
Trên đây là công thức cấp số nhân và các dạng bài tập đầy đủ. Hy vọng bài viết của chúng tôi đã cung cấp cho bạn nhiều thông tin. Chúc các bạn thành công với những công thức này.